Endliche geometrische Reihe/R/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$

was die Behauptung für ${}n+1$ ist.

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