Endliche kommutative Ringe/6 Elemente/Charakterisiere/Aufgabe/Lösung

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Sei ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei der kanonische Ringhomomorphismus, der auf schickt. Die (additive) Ordnung der in (also die Charakteristik von ) ist ein Teiler von . Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung (oder ) wäre eine

(bzw. -)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also , und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.