Endliche p-Gruppe/Auflösbar/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach ${}r$, bei ${}r=0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also ${}r\geq 1$. Nach Fakt ist das Zentrum ${}Z$ von ${}G$ nichttrivial. Das Zentrum ist ein Normalteiler in ${}G$ und somit liegt eine kurze exakte Sequenz

$\{e\}\longrightarrow Z\longrightarrow G\longrightarrow G/Z\longrightarrow \{e\}$

vor. Die Restklassengruppe besitzt ${}p^{s}$ Elemente mit ${}s<r$. Daher kann man auf die Restklassengruppe die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält, dass diese auflösbar ist. Als kommutative Gruppe ist das Zentrum ebenfalls auflösbar. Somit ergibt Fakt,

dass ${}G$ auflösbar ist.

Zur gelösten Aufgabe