Endliche p-Gruppe/Auflösbar/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity


Wir führen Induktion nach , bei ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also . Nach Fakt ist das Zentrum von nichttrivial. Das Zentrum ist ein Normalteiler in und somit liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Die Restklassengruppe besitzt Elemente mit . Daher kann man auf die Restklassengruppe die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält, dass diese auflösbar ist. Als kommutative Gruppe ist das Zentrum ebenfalls auflösbar. Somit ergibt Fakt,

dass auflösbar ist.