Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\phi :(\mathbb{Z}/(q-1),+,0)⟶({𝔽}_q^{\times },\cdot ,1),j⟼g^j,$

ein Gruppenisomorphismus, den es nach Fakt gibt. Die Potenzierung $y\mapsto y^n$ rechts entspricht dabei der Multiplikationsabbildung $x\mapsto nx$ links, und die $n$-ten Einheitswurzeln entsprechen dem Kern der Multiplikationsabbildung mit $n$. Die Bedingung  $nx=0modq-1$  bedeutet, dass $nx$ in $\mathbb{Z}$ ein Vielfaches von $q-1$ sein muss. Dies wird genau von den Restklassen der Zahlen $i\frac{q-1}{a}$, $i=0,1,\dots ,a-1$ erfüllt.

Zur bewiesenen Aussage