Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Stark semistabil/Grad 0/Endlich trivalisierbar/Fakt

Es sei $K$ ein endlicher Körper (oder der algebraische Abschluss eines endlichen Körpers) und sei $X$ eine glatte projektive Kurve über $K$. Es sei $E$ ein Vektorbündel vom Grad $0$ über $X$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Das Bündel $E$ ist endlich trivialisierbar, d.h. es gibt einen endlichen surjektiven Morphismus

   $\phi :Y⟶X$

   ($Y$ ebenfalls eine glatte projektive Kurve) mit ${\phi }^{\ast }E$ trivial.

2. $E$ ist stark semistabil.
3. Es gibt $n>m$ mit $F^{n\ast }E\cong F^{m\ast }E$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen