Endlicher Körper/Potenzsumme/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}m$ ein Vielfaches von ${}q-1$. Dann ist für ${}x\neq 0$

${}x^{m}={\left(x^{q-1}\right)}^{\frac {m}{q-1}}=1\,,$

da ja ${}q-1$ die Ordnung der Einheitengruppe ist. Wegen ${}0^{m}=0$ ist die in Frage stehende Summe gleich ${}q-1=-1$. Wenn ${}m$ kein Vielfaches von ${}q-1$ ist, so gibt es ein ${}y\in K^{\times }$ mit ${}y^{m}\neq 1$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{x\in K^{\times }}x^{m}&=\sum _{x\in K^{\times }}(xy)^{m}\\&=y^{m}\sum _{x\in K^{\times }}x^{m},\end{aligned}}$

da über die gleichen Elemente summiert wird, und somit ist

${}(1-y^{m})\sum _{x\in K^{\times }}x^{m}=0\,,$

also

${}\sum _{x\in K^{\times }}x^{m}=0\,.$

Zur bewiesenen Aussage