Endlicher Körper/Transzendente Erweiterung/Separierende Transzendenzbasis/Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung

${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)(X)\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)(X)\right)}[Y]/{\left(Y^{p}-X\right)}\,$

zu einer Primzahl ${}p$.

1. Zeige, dass die hintere Körpererweiterung endlich, aber nicht separabel ist.
2. Zeige, dass ${}\{X\}$ eine Transzendenzbasis der Gesamterweiterung, aber keine separierende Transzendenzbasis ist.
3. Finde eine separierende Transzendenzbasis für die Gesamterweiterung.

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