Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Wahrscheinlichkeitsmaß/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit additiv ist und die bedingte Gesamtwahrscheinlichkeit gleich ${}1$ ist. Für disjunkte Ereignisse ${}E$ und ${}F$ ist

${}{\begin{aligned}P(E\cup F{|}B)&={\frac {P((E\cup F)\cap B)}{P(B)}}\\&={\frac {P((E\cap B)\cup (F\cap B))}{P(B)}}\\&={\frac {P(E\cap B)+P(F\cap B)}{P(B)}}\\&={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}+{\frac {P(F\cap B)}{P(B)}}\\&=P(E{|}B)+P(F{|}B)\end{aligned}}$

und es ist

${}P(M{|}B)={\frac {P(M\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B)}{P(B)}}=1\,.$

Zur bewiesenen Aussage