Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Bedingte Wahrscheinlichkeit/Wahrscheinlichkeitsmaß/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit additiv ist und die bedingte Gesamtwahrscheinlichkeit gleich $1$ ist. Für disjunkte Ereignisse $E$ und $F$ ist

$\begin{array}{cc}P(E\cup F\mid B)& =\frac{P((E\cup F)\cap B)}{P(B)}\\ & =\frac{P((E\cap B)\cup (F\cap B))}{P(B)}\\ & =\frac{P(E\cap B)+P(F\cap B)}{P(B)}\\ & =\frac{P(E\cap B)}{P(B)}+\frac{P(F\cap B)}{P(B)}\\ & =P(E\mid B)+P(F\mid B)\end{array}$

und es ist

$P(M\mid B)=\frac{P(M\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1.$

Zur bewiesenen Aussage