Endlicher metrischer Raum/Euklidische Realisierung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten den Teilraum ${}M\{0,(1,0),(0,1)\}\subset$ mit der induzierten Metrik. Dieser metrische Raum ${}M$ ist nicht innerhalb der reellen Zahlen realisierbar. Der Nullpunkt hat zu den beiden anderen Punkten den Abstand ${}1$, und diese haben zueinander den Abstand ${}{\sqrt {2}}$. In ${}\mathbb {R}$ gibt es zu jedem Punkt ${}P$ genau zwei Punkte mit dem Abstand ${}1$ nämlich ${}P-1$ bzw ${}P+1$, und diese haben aber zueinander den Abstand ${}2$.

b) Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die folgende endliche Teilmenge: Es seien ${}P,Q$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{3}$, die zueinander den Abstand ${}1$ besitzen. Wir betrachten die Sphären um diese beiden Kugeln mit dem Radius ${}{\frac {2}{3}}$, also ${}S_{1}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,P)={\frac {2}{3}}\right\}}$ und ${}S_{2}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid d(x,Q)={\frac {2}{3}}\right\}}$. Der Durchschnitt ${}S_{1}\cap S_{2}$ ist eine Kreislinie ${}K$. Es seien ${}R_{1},R_{2},R_{3}$ drei Punkte auf ${}K$ und wir betrachten die Teilmenge

${}N=\{P,Q,R_{1},R_{2},R_{3}\}\,$

mit der induzierten Metrik. Diese Menge ist nicht im ${}\mathbb {R} ^{2}$ realisierbar, da es dort zu zwei Punkten mit dem Abstand ${}1$ nur zwei Punkte gibt, die zu beiden Punkten den Abstand ${}{\frac {2}{3}}$ haben.

Zur gelösten Aufgabe