Endomorphismus/Invarianter Untervektorraum/Matrix/Aufgabe/Lösung

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Es sei zunächst ein invarianter Untervektorraum der Dimension . Wir wählen eine Basis von und ergänzen sie zu einer Basis von . Wegen der Invarianz ist

für , also

für . Daher sind in der beschreibenden Matrix von bezüglich dieser Matrix in den ersten Spalten und den unteren Zeilen die Einträge .

Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass

für gilt. Dies bedeutet, dass

auf sich selbst abgebildet wird, und damit ist ein -dimensionaler invarianter Untervektorraum gefunden.