Endomorphismus/Nilpotent/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

Sei $\phi$ nilpotenter Endomorphismus. Das heißt $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}$, sodass ${\phi }^n=0_V$. Sei weiterhin $v\in V$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda \in 𝕂$. Der Beweis der Aussage ist leicht, wenn man die Gleichung ${\phi }^n(v)={\lambda }^{n}v$ benutzt. Diese kann man mit Induktion leicht beweisen. Der Fall $n=1$ (IA) ist trivial. Das ist nämlich nur die Definition des Eigenwerts und Eigenvektors. Möge demnach ${\phi }^n(v)={\lambda }^{n}v$ für ein $n$ gelten (IV). Nun zum Induktionsschritt: ${\phi }^{n+1}(v)=\phi ({\phi }^n(v))\stackrel{IV}{=}\phi ({\lambda }^{n}v)$. Mit der Linearität von $\phi$ folgt nun: $\phi ({\lambda }^{n}v)={\lambda }^n\phi (v)={\lambda }^{n+1}v$. Damit ist die Gleichung bewiesen. Nun zur eigentlichen Aufgabe.

Weil $\phi$ Nilpotent ist, gilt $0={\phi }^n(v)={\lambda }^{n}v$. Weil $v$ ein Eigenvektor ist, ist per Definition $v\ne 0$. Demnach muss ${\lambda }^n=0$ sein. Das impliziert aber $\lambda =0$, was den Beweis abschließt.

Zur gelösten Aufgabe