Endomorphismus/Nilpotenter Vektor/Invarianter Unterraum/Aufgabe/Lösung

Es ist  ${}0\in U$.  Wenn  ${}v\in U$  ist, sagen wir  ${}\varphi ^{n}(v)=0$,  so ist natürlich auch  ${}\varphi ^{n}(sv)=0$,  also  ${}sv\in U$  für jeden Skalar  ${}s\in K$.  Es seien  ${}u,v\in U$  mit  ${}\varphi ^{m}(u)=0$  und  ${}\varphi ^{n}(v)=0$.  Es sei  ${}m\geq n$.  Dann ist auch  ${}\varphi ^{m}(v)=0$  und daher ist auch  ${}\varphi ^{m}(u+v)=\varphi ^{m}(u)+\varphi ^{m}(v)=0$,  also  ${}u+v\in U$.  Es liegt also ein Untervektorraum vor.

Zum Beweis der Invarianz sei  ${}v\in U$  mit  ${}\varphi ^{n}(v)=0$. 

Dann wird ${}\varphi (u)$ von ${}\varphi ^{n-1}$ annulliert, gehört also ebenfalls zu ${}U$.

Zur gelösten Aufgabe