Endomorphismus/Nilpotenter Vektor/Invarianter Unterraum/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}0\in U$. Wenn ${}v\in U$ ist, sagen wir ${}\varphi ^{n}(v)=0$, so ist natürlich auch ${}\varphi ^{n}(sv)=0$, also ${}sv\in U$ für jeden Skalar ${}s\in K$. Es seien ${}u,v\in U$ mit ${}\varphi ^{m}(u)=0$ und ${}\varphi ^{n}(v)=0$. Es sei ${}m\geq n$. Dann ist auch ${}\varphi ^{m}(v)=0$ und daher ist auch ${}\varphi ^{m}(u+v)=\varphi ^{m}(u)+\varphi ^{m}(v)=0$, also ${}u+v\in U$. Es liegt also ein Untervektorraum vor.

Zum Beweis der Invarianz sei ${}v\in U$ mit ${}\varphi ^{n}(v)=0$. Dann wird ${}\varphi (u)$ von ${}\varphi ^{n-1}$ annulliert, gehört also ebenfalls zu ${}U$.

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