Endomorphismus/Orthogonale Summe/Adjungiert/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}v,w\in V$ und

   ${}v=v_{1}+v_{2}\,$

   und

   ${}w=w_{1}+w_{2}\,$

   sei ihre Summenzerlegung. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (v),w\right\rangle &=\left\langle \varphi (v_{1}+v_{2}),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2}),w_{1}+w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{2}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi _{1}(v_{1}),w_{1}\right\rangle +\left\langle \varphi _{2}(v_{2}),w_{2}\right\rangle \\&=\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{1},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})\right\rangle +\left\langle v_{2},{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v_{1}+v_{2},{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle \\&=\left\langle v,{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})\right\rangle ,\end{aligned}}$

   wobei wir für die vierte und die sechste Gleichung die Orthogonalität verwendet haben. Die Summe ${}{\hat {\varphi _{1}}}(w_{1})+{\hat {\varphi _{2}}}(w_{2})$ erfüllt also die für den adjungierten Endomorphismus charakteristische Eigenschaft, daher ist es der adjungierte Endomorphismus.

2. Wir betrachten die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}}$ als lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$. Diese Abbildung besitzt die beiden Eigenwerte ${}1$ und ${}2$ mit den Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$. Mit ${}V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}V_{2}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${}\varphi _{1}=1$ und ${}\varphi _{2}=2$ ist

   ${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,.$

   Da ${}\varphi _{1}$ und ${}\varphi _{2}$ reelle Streckungen sind, stimmen sie mit ihren adjungierten Endomorphismen überein, und somit ist die Summe der adjungierten Endomorphismen gleich ${}\varphi$. Es ist aber einerseits

   ${}\left\langle \varphi {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =1\,$

   und andererseits

   ${}\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\varphi {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rangle =2\,,$

   so dass ${}\varphi$ nicht der adjungierte Endomorphismus ist.

Zur gelösten Aufgabe