Endomorphismus/Orthogonale Summe/Adjungiert/Aufgabe/Lösung

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  1. Es seien und

    und

    sei ihre Summenzerlegung. Dann ist

    wobei wir für die vierte und die sechste Gleichung die Orthogonalität verwendet haben. Die Summe erfüllt also die für den adjungierten Endomorphismus charakteristische Eigenschaft, daher ist es der adjungierte Endomorphismus.

  2. Wir betrachten die Matrix als lineare Abbildung von nach . Diese Abbildung besitzt die beiden Eigenwerte und mit den Eigenvektoren und . Mit und und und ist

    Da und reelle Streckungen sind, stimmen sie mit ihren adjungierten Endomorphismen überein, und somit ist die Summe der adjungierten Endomorphismen gleich . Es ist aber einerseits

    und andererseits

    so dass nicht der adjungierte Endomorphismus ist.