Wir können
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annehmen und dass
durch die Matrix
bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn
einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also
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die durch die gleiche Matrix
gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert
und einen komplexen Eigenvektor
. Es ist also
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Mit
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und
bedeutet dies
-

Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass
sind, so dass der Untervektorraum
invariant ist.