Beweis
Wir können
annehmen und dass durch die Matrix bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also
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die durch die gleiche Matrix gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert und einen komplexen Eigenvektor
.
Es ist also
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Mit
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und
bedeutet dies
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Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass
sind, sodass der Untervektorraum invariant ist.