Endomorphismus/Reell/Zweidimensional invariant/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir können

annehmen und dass durch die Matrix bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also

die durch die gleiche Matrix gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert und einen komplexen Eigenvektor . Es ist also

Mit

und bedeutet dies

Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass sind, so dass der Untervektorraum invariant ist.

Zur bewiesenen Aussage