Erzeugter Unterring/Polynomiale Ausdrücke/Bemerkung

Zu einem Ring ${}A$ und einer beliebigen Teilmenge ${}T\subseteq A$ kann man den von ${}T$ erzeugten Unterring betrachten. Das ist der kleinste Unterring von ${}A$, der ${}T$ umfasst; man kann ihn einfach als den Durchschnitt aller ${}T$ umfassenden Unterringe realisieren.

Häufig ist man in eine Situation interessiert, wo ${}R\subseteq A$ ein fixierter Unterring ist und eine weitere, typischerweise recht kleine Teilmenge ${}T\subseteq A$ gegeben ist. Dann wird der von ${}R$ und ${}T$ gemeinsam erzeugte Unterring von ${}A$ mit ${}R[T]$ bezeichnet. Es sei vorausgesetzt, dass ${}R$ mit allen Elementen aus ${}T$ vertauschbar ist (was bei kommutativen ${}A$ automatisch der Fall ist). Dann besteht dieser erzeugte Unterring aus allen polynomialen Ausdrücken

$\sum _{\nu }r_{\nu }t^{\nu _{1}}{\cdots }t_{k}^{\nu _{k}}$

mit ${}r_{\nu }\in R,\,t_{1},\ldots ,t_{k}\in T,\,\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{k})\in \mathbb {N} ^{k}$.

Diese Ausdrücke bilden offensichtlich den durch ${}R$ und ${}T$ erzeugten Unterring. Bei ${}T=\{x\}$ schreibt man dafür

${}R[x]={\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\mid a_{i}\in R\right\}}\,.$

Man beachte, dass im Gegensatz zum Polynomring dabei die Darstellung eines Elementes aus ${}R[T]$ als ein polynomialer Ausdruck keineswegs eindeutig bestimmt sein muss.