Erzeugter Unterring/Polynomiale Ausdrücke/Bemerkung

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Zu einem Ring und einer beliebigen Teilmenge kann man den von erzeugten Unterring betrachten. Das ist der kleinste Unterring von , der umfasst; man kann ihn einfach als den Durchschnitt aller umfassenden Unterringe realisieren.

Häufig ist man in eine Situation interessiert, wo ein fixierter Unterring ist und eine weitere, typischerweise recht kleine Teilmenge gegeben ist. Dann wird der von und gemeinsam erzeugte Unterring von mit bezeichnet. Es sei vorausgesetzt, dass mit allen Elementen aus vertauschbar ist (was bei kommutativen automatisch der Fall ist). Dann besteht dieser erzeugte Unterring aus allen polynomialen Ausdrücken

mit .

Diese Ausdrücke bilden offensichtlich den durch und erzeugten Unterring. Bei schreibt man dafür . Man beachte, dass im Gegensatz zum Polynomring dabei die Darstellung eines Elementes aus als ein polynomialer Ausdruck keineswegs eindeutig bestimmt sein muss.