Etale Fundamentalgruppe/Punktierte affine Gerade/Potenzen/Beispiel

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}X={\mathbb {A} }^{\times }={\mathbb {A} }\setminus \{0\}$ die punktierte Gerade, wobei wir den Punkt ${}1\in X$ fixieren. Die zusammenhängenden galoisschen Überdeckungen sind

$X_{n}=X\longrightarrow X,\,t\longmapsto t^{n},$

mit der Galoisgruppe ${}G_{n}=\mu _{n}(K)\cong \mathbb {Z} /(n)$, wobei ${}n$ kein Vielfaches der Charakteristik ist. Als Indexmenge ${}I$ kann man die natürlichen Zahlen ohne die Vielfachen der Charakteristik zusammen mit der durch die Teilbarkeit gegebenen Ordnung nehmen. Für ${}n{|}m$ gibt es natürliche Morphismen

$X_{m}\longrightarrow X_{n},\,t\longmapsto t^{m/n},$

wobei

$G_{m}\longrightarrow G_{n}$

surjektiv ist (ein Erzeuger wird also auf einen Erzeuger abgebildet, bzw. eine primitive Einheitswurzel wird auf eine primitive Einheitswurzel abgebildet). Die étale Fundamentalgruppe

ist also

${\lim _{\longleftarrow }}_{n\in \mathbb {N} ,\,p\!\not \,\,{|}\,n}\,\mathbb {Z} /(n)=\prod _{\ell \,{\rm {prim}}\neq p}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }.$