Euklidische Ebene/(4,5)/Abstand zu 2x-3y ist 7/Beispiel

Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes  $P=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)$  zu der Geraden $G$, die durch  $2x-3y=7$  gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form

$G=\{\left(\begin{array}{c}\frac{7}{2}\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\mid t\in ℝ\}$

und $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ ist ein zu $G$ orthogonaler Vektor. Es ist

$\left(\begin{array}{c}\frac{7}{2}\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ -5\end{array}\right)=-\frac{23}{26}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\frac{14}{13}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right).$

Somit ist der Lotfußpunkt gleich

$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)+\frac{14}{13}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{80}{13}\\ \frac{23}{13}\end{array}\right)$

und der Abstand ist

$\frac{14}{13}\sqrt{13}.$