Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Textabschnitt

Euklid (4. Jahrhundert v. C.)

Definition

Es seien zwei ganze Zahlen ${}a,b$ (mit ${}b\neq 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Satz

Es seien ganze Zahlen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b\neq 0$ gegeben.

Dann besitzt die Folge ${}r_{i}$, ${}i=0,1,2,\ldots$, ${},$ der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}r_{i+2}=0$ oder ${}r_{i+2}<r_{i+1}$.
2. Es gibt ein (minimales) ${}k\geq 2$ mit ${}r_{k}=0$.
3. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} (r_{i-1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i+1})\,$

   für alle ${}i=1,\ldots ,k$

4. Sei ${}k\geq 2$ der erste Index derart, dass ${}r_{k}=0$ ist. Dann ist

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$

Beweis

1. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
2. Solange ${}r_{i}\neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen ${}r_{i}$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall ${}r_{i}=0$ eintreten muss.
3. Wenn ${}t$ ein gemeinsamer Teiler von ${}r_{i}$ und von ${}r_{i+1}$ ist, so zeigt die Beziehung

   ${}r_{i-1}=q_{i-1}r_{i}+r_{i+1}\,,$

   dass ${}t$ auch ein Teiler von ${}r_{i-1}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von ${}r_{i-1}$ und von ${}r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.

4. Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,.$

$\Box$