Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m$, das von einem Element ${}b\in I,\,b\neq 0$, herrührt, sagen wir  ${}m=\delta (b)$.  Wir behaupten, dass  ${}I=(b)$  ist. Dabei ist die Inklusion „ ${}\supseteq$ “ klar. Zum Beweis der Inklusion „ ${}\subseteq$ “ sei  ${}a\in I$  gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt  ${}a=qb+r$  mit  ${}r=0$  oder  ${}\delta (r)<\delta (b)$.  Wegen  ${}r\in I$  und der Minimalität von ${}\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist  ${}r=0$  und ${}a$ ist ein Vielfaches von ${}b$.

Zur bewiesenen Aussage