Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

$\{\delta (a)\mid a\in I,a\ne 0\}.$

Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element $b\in I,b\ne 0$, herrührt, sagen wir  $m=\delta (b)$.  Wir behaupten, dass  $I=(b)$  ist. Dabei ist die Inklusion „ $\supseteq$ “ klar. Zum Beweis der Inklusion „ $\subseteq$ “ sei  $a\in I$  gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt  $a=qb+r$  mit  $r=0$  oder  $\delta (r)<\delta (b)$.  Wegen  $r\in I$  und der Minimalität von $\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist  $r=0$  und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.

Zur bewiesenen Aussage