Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
Zur bewiesenen Aussage
Beweis
Sei ein von verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Dabei ist die Inklusion „“ klar. Zum Beweis der Inklusion „“ sei gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt mit oder . Wegen und der Minimalität von kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .