Euklidischer Raum/Automorphismus/Senkrecht bleibt erhalten, keine Isometrie/Aufgabe/Kommentar

Als Isometrie wird eine lineare Abbildung bezeichnet, die Skalarprodukte zwischen je zwei Vektoren invariant lässt. Da die Norm eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren über das Skalarprodukt definiert werden, bedeutet das, dass Längen und Winkel durch Isometrien erhalten bleiben. Somit sind Isometrien Rotationen oder auch Spiegelungen.

Die Forderung dieser Aufgabe ist eine Abschwächung davon. Die gesuchte Abbildung ${}\varphi$ erhält die Orthogonalität zwischen zwei Vektoren, die bezüglich des auf ${}V$ definierten Skalarprodukts orthogonal zueinander stehen. Falls rechte Winkel erhalten bleiben, so bleiben bereits alle Winkel unverändert.

Für ${}\varphi$ kommen somit Abbildungen in Betracht, die die Länge von Vektoren ändern, wie zum Beispiel das Skalieren ${}\varphi (v)=sv$ für geeignetes ${}s\in \mathbb {R}$. Tatsächlich gilt dann für ${}v,w\in V$:

$\langle \varphi (v),\varphi (w)\rangle =\langle sv,sw\rangle =s\langle v,sw\rangle =s^{2}\langle v,w\rangle ,$

wobei wir die Bilinearität des Skalarprodukts ausnutzen. Damit keine Isometrie vorliegt, müssen wir ${}s\neq 1,-1$ wählen: für ${}s=-1$ liegt eine Punktspiegelung vor, für ${}s=1$ die Identität. Außerdem müssen wir ${}s\neq 0$ wählen, um eine Bijektion zu erhalten.

Jetzt können wir überprüfen, ob ${}\varphi$ die gewünschte Eigenschaft besitzt. Falls ${}\langle v,w\rangle =0$ ist, so gilt offenbar auch

$\langle \varphi (v),\varphi (w)\rangle =s^{2}\langle v,w\rangle =0$

und die Umkehrung folgt analog.

Es sei angemerkt, dass bei diesen Überlegungen überhaupt nicht eingegangen ist, mit welchem Sklalarprodukt wir es genau zu tun haben, sondern die Betrachtung gilt allgemein. Es muss nicht das Standardskalarprodukt sein, aber die genaue Bedeutung von Orthogonalität ist dann eine andere.

Es gibt noch viele weitere lineare Abbildungen, die die Forderungen der Aufgabe erfüllen. Welche sind das genau? (Übrigens: Es gibt auch winkelerhaltende Abbildungen, die nicht linear sind, zum Beispiel einige Kartenprojektionen, aber die sind hier nicht gemeint.)

Zur kommentierten Aufgabe