Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\varphi (v)=\lambda v$ mit ${}v\neq 0$, d.h. ${}v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

Wegen ${}\Vert {v}\Vert \neq 0$ folgt daraus ${}\vert {\lambda }\vert =1$, also ${}\lambda =\pm 1$.

Zur bewiesenen Aussage