Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

$U^{\perp }=\{v\in V\mid ⟨v,u⟩=0\text{ für }\text{alle }u\in U\}.$

Für ein solches  $v\in U^{\perp }$  und ein beliebiges  $u\in U$  ist

$⟨\phi (v),u⟩=⟨{\phi }^{-1}(\phi (v)),{\phi }^{-1}(u)⟩=⟨v,u^{\prime }⟩=0,$

da  $u^{\prime }={\phi }^{-1}(u)\in U$  liegt wegen der Invarianz von $U$. Also ist wieder  $\phi (v)\in U^{\perp }$. 

Zur bewiesenen Aussage