Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt

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Satz über die minimale Bargeld-Darstellung

Es gelten die folgenden Aussagen.

  1. Jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Summendarstellung

    (mit ) mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden (also ) unter allen Darstellungen minimal ist.

  2. Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind.
    a) Die Koeffizienten , die sich auf beziehen, sind .
    b) Die Koeffizienten , die sich auf beziehen, sind .
    c) Falls der Koeffizient, der sich auf (bzw. bzw. ) bezieht, gleich ist, so ist der vorhergehende Koeffizient (der sich also auf bzw. bzw. bezieht) gleich .
  3. Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend bestimmt, wobei man folgendermaßen vorgeht

    definiere

    definiere

    etc.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen