Exponentialfunktion/Diagonale/Abstand/Aufgabe/Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist einfacher, mit dem Quadrat des Abstandes zu arbeiten. Der Abstand im Quadrat zwischen den Punkten ${}\left(y,\,e^{y}\right)$ und ${}\left(x,\,x\right)$ ist

   ${}(x-y)^{2}+{\left(e^{y}-x\right)}^{2}=2x^{2}+y^{2}+e^{2y}-2xy-2xe^{y}=2x^{2}-x{\left(2y+2e^{y}\right)}+y^{2}+e^{2y}\,.$

   Dies ist ein quadratisches Polynom in ${}x$, dessen Koeffizienten von ${}y$ abhängen und dessen Leitkoeffizient positiv ist. Das Minimum dieses Ausdruckes bei vorgegebenem ${}y$ können wir durch ableiten nach ${}x$ bestimmen. Die Ableitung ist

   $4x-2y-2e^{y},$

   also liegt bei

   ${}x={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}\,$

   eine Nullstelle der Ableitung vor und dort wird das globale Minimum angenommen. Dort nimmt auch der Abstand das Minimum an, da die Quadratwurzel streng monoton ist.

3. Zur Bestimmung des Abstandquadrates müssen wir den Wert für ${}x$ in die Formel einsetzen, dies ergibt

   ${}{\begin{aligned}f(y)&={\frac {1}{2}}{\left(y+e^{y}\right)}^{2}+y^{2}+e^{2y}-{\left(y+e^{y}\right)}y-{\left(y+e^{y}\right)}e^{y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}+ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}+y^{2}+e^{2y}-y^{2}-ye^{y}-ye^{y}-e^{2y}\\&={\frac {1}{2}}y^{2}-ye^{y}+{\frac {1}{2}}e^{2y}.\end{aligned}}$

4. Wir müssen das Minimum der Funktion ${}f(y)$ bestimmen. Es ist

   ${}{\begin{aligned}f'(y)&=y-e^{y}-ye^{y}+e^{2y}\\&={\left(e^{y}-y\right)}{\left(e^{y}-1\right)}.\end{aligned}}$

   Wegen ${}e^{y}>y$ besitzt diese Ableitung genau eine Nullstelle, nämlich für ${}e^{y}=1$, also bei ${}y=0$. Aus der Faktorzerlegung sieht man auch, dass ${}f$ ein isoliertes Minimum in ${}y=0$ besitzt. Der minimale Abstand zwischen den beiden Graphen wird also in ${}\left(0,\,1\right)$ und ${}\left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)$ angenommen.
5. Der Abstand beträgt ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Zur gelösten Aufgabe