Exponentialfunktion/Hintereinanderschaltung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Hintereinanderschaltung der Exponentialfunktion (zur Basis ${}e$) mit sich selbst, also

${}f(x)=e^{(e^{x})}\,,$

und behaupten, dass dies keine Exponentialfunktion ist, also nicht von der Form ${}b^{x}$ mit einer Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ ist. Falls doch, so wäre

${}e^{(e^{x})}=b^{x}=e^{x\ln b}\,$

für alle ${}x$. Wegen der Injektivität der Exponentialfunktion bedeutet dies

${}e^{x}=x\ln b\,.$

Doch dies würde bedeuten, dass die Exponentialfunktion linear ist, was sicher nicht der Fall ist.

Zur gelösten Aufgabe