Exponentialfunktion/Reell/Keine rationale Funktion/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, es gelte

${}e^{x}={\frac {P}{Q}}\,$

mit Polynomen ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Es muss also

${}{\left({\frac {P}{Q}}\right)}'={\frac {P'Q-PQ'}{Q^{2}}}={\frac {P}{Q}}\,$

gelten. Damit ist auch

${}P'Q-PQ'=PQ\,$

Es sei ${}d=\operatorname {grad} \,(P)$ (${}P=0$ ist nicht möglich)

und ${}e=\operatorname {grad} \,(Q)$. Beim Ableiten reduziert sich der Grad eines Polynoms um ${}1$. Der Grad rechts ist somit ${}d+e$ und links ${}\leq d+e-1$, es liegt also ein Widerspruch vor.

Zur gelösten Aufgabe