Exponentialfunktion/Reell/Keinen Fixpunkt/Aufgabe/Lösung

Die Fixpunktbedingung ist

${}e^{x}=x\,$

bzw.

${}f(x):=e^{x}-x=0\,.$

Es ist

${}f(0)=e^{0}=1\,.$

Die Ableitung von ${}f$ ist

${}f'(x)=e^{x}-1\,$

und diese ist für ${}x<0$ negativ und für ${}x>0$

positiv. Daher ist ${}f$ auf ${}\mathbb {R} _{-}$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{+}$ streng wachsend, somit besitzt ${}f$ in ${}0$ das Minimum und ${}f$ ist überall positiv, hat also keine Nullstelle.

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