Exponentialfunktionen/Summe/Minimum/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}f'(x)={\left(\ln a\right)}a^{x}+{\left(\ln b\right)}b^{x}\,.$

Die Bedingung

${}{\left(\ln a\right)}a^{x}+{\left(\ln b\right)}b^{x}=0\,$

ist äquivalent zu

${}{\left(\ln a\right)}a^{x}=-{\left(\ln b\right)}b^{x}\,$

und zu

${}-{\frac {\ln a}{\ln b}}={\frac {b^{x}}{a^{x}}}={\frac {e^{x\ln b}}{e^{x\ln a}}}=e^{x\ln b-x\ln a}=e^{x{\left(\ln b-\ln a\right)}}\,.$

Dies ist äquivalent zu

${}x{\left(\ln b-\ln a\right)}=\ln \left(-{\frac {\ln a}{\ln b}}\right)=\ln \left(-\ln a\right)-\ln \left(\ln b\right)\,$

und schließlich zu

${}x={\frac {\ln \left(-\ln a\right)-\ln \left(\ln b\right)}{\ln b-\ln a}}\,.$

In diesem Punkt wird das globale Minimum angenommen, da ${}f(x)$ sowohl für ${}x\mapsto \infty$ als auch für ${}x\mapsto -\infty$ gegen ${}+\infty$ strebt.

Zur gelösten Aufgabe