Exponentialreihe/Konvergiert nicht gleichmäßig/Aufgabe/2/Lösung

Wähle $\epsilon =1$, $N\in \mathbb {N}$ beliebig, und $n\in \mathbb {N} \land n\geq N$ mit $\mathbb {R} \ni x={\sqrt[{n+1}]{2(n+1)!}}$ .

$\Rightarrow x>0\Rightarrow \sum _{\text{k=0}}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}>0$ und streng monoton wachsend.

$\Rightarrow |$exp$(x)-\sum _{\text{k=0}}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}|=\sum _{\text{k=0}}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}-\sum _{\text{k=0}}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{\text{k=n+1}}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}>\sum _{\text{k=n+1}}^{n+1}{\frac {x^{k}}{k!}}$ =

$={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {{\sqrt[{n+1}]{(2(n+1)!))}}^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {2(n+1)!}{(n+1)!}}=2>\epsilon$

$\Rightarrow$ Die Exponentialreihe konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz $\mathbb {R}$ $\Rightarrow$ Die Exponentialreihe konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz $\mathbb {C}$.