Exponentialreihe/R/Abschätzung für Restglied/Aufgabe

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}x\in \mathbb {R}$ sei

${}R_{N+1}(x)=\exp x-\sum _{n=0}^{N}{\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\,$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {x}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

${}\vert {R_{N+1}(x)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {x}\vert ^{N+1}\,$

gilt.

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