Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=\exp \left(x-x\right)=\exp 0=1\,$

aufgrund von Fakt.
(3) folgt für ${}n\in \mathbb {N}$ aus Fakt durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives ${}n$.
(4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${}\exp x=\exp {\left({\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\right)}=\exp {\frac {x}{2}}\cdot \exp {\frac {x}{2}}={\left(\exp {\frac {x}{2}}\right)}^{2}\geq 0\,.$

(5). Für reelles ${}x$ ist ${}\exp x\cdot \exp \left(-x\right)=1$, sodass nach (4) ein Faktor ${}\geq 1$ sein muss und der andere Faktor ${}\leq 1$. Für ${}x>0$ ist

${}\exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots >1\,,$

da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden.
(6). Für reelle ${}y>x$ ist ${}y-x>0$ und daher nach (5) ${}\exp \left(y-x\right)>1$, also

${}\exp y=\exp \left(y-x+x\right)=\exp \left(y-x\right)\cdot \exp x>\exp x\,.$

Zur bewiesenen Aussage