Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

$\exp x\cdot \exp (-x)=\exp (x-x)=\exp 0=1$

aufgrund von Fakt.
(3) folgt für  $n\in \mathbb{N}$  aus Fakt durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives $n$.
(4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus

$\exp x=\exp (\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=\exp \frac{x}{2}\cdot \exp \frac{x}{2}={(\exp \frac{x}{2})}^2\ge 0.$

(5). Für reelles $x$ ist  $\exp x\cdot \exp (-x)=1$,  sodass nach (4) ein Faktor $\ge 1$ sein muss und der andere Faktor $\le 1$. Für  $x>0$  ist

$\exp x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\dots >1,$

da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden.
(6). Für reelle  $y>x$  ist  $y-x>0$  und daher nach (5)  $\exp (y-x)>1$,  also

$\exp y=\exp (y-x+x)=\exp (y-x)\cdot \exp x>\exp x.$

Zur bewiesenen Aussage