Extrema/-3x^2+2xy-7y^2+x/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen der Funktion ${}f$ sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-6x+2y+1\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=2x-14y\,.$

Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ${}0$ ist. Aus

$-6x+2y+1=0\,\,{\text{ und }}\,\,2x-14y=0$

folgt sofort

$-40y+1=0,$

also ${}y={\frac {1}{40}}$ und daraus

$x={\frac {7}{40}}.$

Es kann also allenfalls im Punkt

${}P=\left({\frac {7}{40}},\,{\frac {1}{40}}\right)\,$

ein lokales Extremum vorliegen.

Die Hesse-Matrix der Funktion ist

${\begin{pmatrix}-6&2\\2&-14\end{pmatrix}}.$

Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in ${}P$ ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.

Zur gelösten Aufgabe