Extrema/Kosinus mal Sinus^2/Aufgabe/Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =-{\sin }^{3}x+2\left({\cos }^{2}x\right)(\sin x)\\ & =(\sin x)(-{\sin }^{2}x+2\left({\cos }^{2}x\right))\\ & =(\sin x)(-{\sin }^{2}x+2(1-{\sin }^{2}x))\\ & =(\sin x)(2-3{\sin }^{2}x).\end{array}$

Die Nullstellen dieser Funktion im Intervall $[0,\frac{\pi }{2}]$ liegen bei

$0$

und bei

${\sin }^{2}x=\frac{2}{3},$

also (da der Sinus im angegebenen Intervall $\ge 0$ ist)

$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},$

also

$x=\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right).$

Auf dem Intervall ist die Funktion $f$ nichtnegativ und besitzt den Wert $0$ an den Intervallgrenzen. Daher liegen in $0$ und in $\frac{\pi }{2}$

lokale Minima vor, die beide maximal und isoliert sind. An der Stelle $\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$ muss daher ein globales isoliertes Maximum vorliegen.

Zur gelösten Aufgabe