Extrema/Kosinus mal Sinus^2/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&=-\sin ^{3}x+2{\left(\cos ^{2}x\right)}{\left(\sin x\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(-\sin ^{2}x+2{\left(\cos ^{2}x\right)}\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(-\sin ^{2}x+2{\left(1-\sin ^{2}x\right)}\right)}\\&={\left(\sin x\right)}{\left(2-3\sin ^{2}x\right)}.\end{aligned}}$

Die Nullstellen dieser Funktion im Intervall ${}[0,{\frac {\pi }{2}}]$ liegen bei

$0$

und bei

${}\sin ^{2}x={\frac {2}{3}}\,,$

also (da der Sinus im angegebenen Intervall ${}\geq 0$ ist)

${}\sin x={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\,,$

also

${}x=\arcsin \left({\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\right)\,.$

Auf dem Intervall ist die Funktion ${}f$ nichtnegativ und besitzt den Wert ${}0$ an den Intervallgrenzen. Daher liegen in ${}0$ und in ${}{\frac {\pi }{2}}$

lokale Minima vor, die beide maximal und isoliert sind. An der Stelle ${}\arcsin \left({\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}\right)$ muss daher ein globales isoliertes Maximum vorliegen.

Zur gelösten Aufgabe