Extrema/Linearform/3x-2y+5z/x^2+y^2+z^4/Beispiel

Wir betrachten die Linearform

${}h(x,y,z)=3x-2y+5z\,$

auf der Menge

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{4}=1\right\}}\,.$

Die Lagrange-Bedingung wird zu

${}{\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z^{3}\end{pmatrix}}\,.$

Dies führt auf ${}x\neq 0$ und

${}\lambda ={\frac {3}{2x}}\,.$

Damit ist

${}y=-{\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {2x}{3}}\,$

und

${}z={\sqrt[{3}]{\frac {5}{4\lambda }}}={\sqrt[{3}]{{\frac {5}{6}}x}}\,.$

Dies führt insgesamt zur Bedingung

${}x^{2}+{\frac {4}{9}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x{\sqrt[{3}]{{\frac {5}{6}}x}}=1\,,$

die nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Lösungen hat, die allerdings nicht so einfach explizit anzugeben sind.