Extrema/Linearform/3x-2y+5z/x^2+y^2+z^4/Beispiel

Wir betrachten die Linearform

$h(x,y,z)=3x-2y+5z$

auf der Menge

$M=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid f(x,y,z)=x^2+y^2+z^4=1\}.$

Die Lagrange-Bedingung wird zu

$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}2x\\ 2y\\ 4z^3\end{array}\right).$

Dies führt auf  $x\ne 0$  und

$\lambda =\frac{3}{2x}.$

Damit ist

$y=-\frac{1}{\lambda }=-\frac{2x}{3}$

und

$z=\sqrt[3]{\frac{5}{4\lambda }}=\sqrt[3]{\frac{5}{6}x}.$

Dies führt insgesamt zur Bedingung

$x^2+\frac{4}{9}{x}^2+\frac{5}{6}x\sqrt[3]{\frac{5}{6}x}=1,$

die nach dem Zwischenwertsatz mindestens zwei Lösungen hat, die allerdings nicht so einfach explizit anzugeben sind.