Wir betrachten im
die beiden Kreise
und
,
wobei
den Mittelpunkt
und Radius
und
den Mittelpunkt
und Radius
habe.
liegt innerhalb von
, und die beiden Kreise berühren sich in
.
Durch diese beiden Kreise wird die Ebene
(neben den zwei Kreislinien selbst)
in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises
(
),
die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe
(
)
und das Äußere von
(
).
Der innere Kreis
wird als Nullstelle der Funktion
-

beschrieben. Im Innern von
ist diese Funktion negativ, auf
hat sie den Wert
und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für
und die Funktion
.
Wir setzen

Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert
an, sie ist auf
positiv, auf
negativ und auf
wieder positiv.
Die Funktion
besitzt in
kein lokales Minimum, da sie dort den Wert
besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung
den Bereich
trifft, wo
negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein
lokales Minimum.
Es sei dazu
eine solche Gerade. Wenn
die
-Achse ist, so verläuft diese Gerade
(bis auf
selbst)
in
, wo
nur positive Werte annimmt, sodass in
ein
(sogar globales)
Minimum vorliegt. Es sei also
eine von der
-Achse verschiedene Gerade durch
. Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in
, wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von
, zuerst in
, dann in
und schließlich wieder in
. Da die Funktion auf
positiv ist, kann man ein Teilintervall
der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück
(abgesehen von
)
nur in
und
verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in
den Wert
und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende
hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames
für alle Geraden.