Extrema/R^2/Lineares lokales Minimum/Kein lokales Minimum/Tangentiale Kreise/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten im die beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und Radius und den Mittelpunkt und Radius habe. liegt innerhalb von , und die beiden Kreise berühren sich in . Durch diese beiden Kreise wird die Ebene (neben den zwei Kreislinien selbst) in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises (), die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe () und das Äußere von (). Der innere Kreis wird als Nullstelle der Funktion

beschrieben. Im Innern von ist diese Funktion negativ, auf hat sie den Wert und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für und die Funktion . Wir setzen

Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert an, sie ist auf positiv, auf negativ und auf wieder positiv.

Die Funktion besitzt in kein lokales Minimum, da sie dort den Wert besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung den Bereich trifft, wo negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein lokales Minimum. Sei dazu eine solche Gerade. Wenn die -Achse ist, so verläuft diese Gerade (bis auf selbst) in , wo nur positive Werte annimmt, so dass in ein (sogar globales) Minimum vorliegt. Sei also eine von der -Achse verschiedene Gerade durch . Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in , wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von , zuerst in , dann in und schließlich wieder in . Da die Funktion auf positiv ist, kann man ein Teilintervall der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück (abgesehen von ) nur in und verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in den Wert und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames für alle Geraden.