Extrema/x^3-y^3/Kreis/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist

    und

    Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt gleich , also ist der einzige kritische Punkt.

  2. Wegen (1) kann allenfalls im Nullpunkt ein lokales Extremum vorliegen. Wenn dort ein lokales Extremum vorliegen würde, so hätte auch die Einschränkung auf eine jede Gerade durch den Nullpunkt dort ein lokales Extremum. Auf der durch gegebenen Geraden ist die eingeschränkte Funktion gleich , und diese ist streng wachsend und besitzt kein lokales Extremum.
  3. Der Einheitskreis wird durch

    parametrisiert, und besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt genau dann, wenn ein lokales Extremum in besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist

    Es ist

    Die Nullstellen hiervon sind (wir beschränken uns auf das Intervall , und betrachten die drei Faktoren) . Es ist

    Daher ist

    Somit liegt in ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.