Faktorieller Bereich/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente mit Primfaktorzerlegungen

${}a_{i}=u_{i}\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{i}\right)}}\,.$

Dann ist

${}\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}=\prod _{p}p^{\operatorname {max} _{}^{}{\left(\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{1}\right)},\ldots ,\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{n}\right)}\right)}}\,$

und

${}\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}=\prod _{p}p^{\operatorname {min} _{}^{}{\left(\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{1}\right)},\ldots ,\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(a_{n}\right)}\right)}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen