Fermat-Kubik/4 Variablen/Affin/Explizite Parametrisierung/Aufgabe

Wir betrachten die Fermat-Kubik in vier Variablen, also

V = V_{+} (X^{3} + Y^{3} + Z^{3} + W^{3}) \subseteq ℙ_{K}^{3}

und den affinen Ausschnitt

U = D_{+} (W) \cap V = Spek (K [X, Y, Z] / (X^{3} + Y^{3} + Z^{3} + 1)

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ der Charakteristik $\neq 3$ . Zeige, dass durch

x (s, t) = \frac{3 t - \frac{1}{3} (s^{2} + s t + t^{2})^{2}}{t (s^{2} + s t + t^{2}) - 3},

y (s, t) = \frac{3 s + 3 t + \frac{1}{3} (s^{2} + s t + t^{2})^{2}}{t (s^{2} + s t + t^{2}) - 3}

und

z (s, t) = \frac{- 3 - (s^{2} + s t + t^{2}) (s + t)}{t (s^{2} + s t + t^{2}) - 3}

eine rationale Parametrisierung

K^{2} ⟶ U

gegeben ist.