Fermat-Kubik/4 Variablen/Affin/Explizite Parametrisierung/Aufgabe

Wir betrachten die Fermat-Kubik in vier Variablen, also

${}V=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}\,$

und den affinen Ausschnitt

${}U=D_{+}(W)\cap V=\operatorname {Spek} {\left(K[X,Y,Z]/(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+1\right)}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 3$. Zeige, dass durch

${}x(s,t)={3t-{1 \over 3}(s^{2}+st+t^{2})^{2} \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}\,,$

${}y(s,t)={3s+3t+{1 \over 3}(s^{2}+st+t^{2})^{2} \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}\,$

und

${}z(s,t)={-3-(s^{2}+st+t^{2})(s+t) \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}\,$

eine rationale Parametrisierung

$K^{2}\longrightarrow U$

gegeben ist.

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