Fermat-Kubik/Z mod 3/Gruppenoperation/Invariantenring/Beispiel

Wir betrachten auf

${}S=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}-Z^{3}\right)}\,$

die Operation von ${}\mathbb {Z} /(3)$, wobei ein Erzeuger durch

$X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z$

operiere. Aus der Bedingung

${}(x,y,z)=(\zeta x,\zeta y,\zeta ^{2}z)\,$

folgt direkt, dass der Nullpunkt der einzige Fixpunkt der Operation ist. Außerhalb dieses Punktes ist die Operation frei und dort ist der Quotient etale. Es sei ${}R$ der Invariantenring. Dieser ist normal Cohen-Macaulay und hat eine rationale Singularität.

Invariante Erzeuger sind

$X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3},XZ,YZ.$

Die invarianten Differentialoperatoren sind die Differentialoperatoren von ${}R$. Insbesondere gibt es außer der Identität keine unitären Differentialoperatoren. Der Invariantenring wird durch die ${}2\times 2$-Minoren der Matrix

${}{\begin{pmatrix}x^{3}&x^{2}y&xy^{2}&xz\\x^{2}y&xy^{2}&y^{3}&yz\\x^{2}z^{2}&xyz^{2}&y^{2}z^{2}&x^{3}+y^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B&C&E\\B&C&D&F\\E^{2}&EF&F^{2}&A+D\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Wir behaupten, dass der Quotientenkörper des Invariantenringes der rationale Funktionenkörper in den zwei Erzeugern ${}{\frac {X}{Y}}$ und ${}{\frac {Z^{2}}{Y}}$ ist. Zunächst gehört

${}{\left({\frac {Z}{Y}}\right)}^{3}={\left({\frac {X}{Y}}\right)}^{3}+1\,$

da dazu. Ferner gehört auch

${}{\frac {Z}{Y^{2}}}={\frac {Z^{3}}{Y^{3}}}\cdot {\frac {Y}{Z^{2}}}\,$

dazu. Damit gehört auch

${}YZ={\frac {Z^{2}}{Y}}\cdot {\frac {Y^{2}}{Z}}\,$

dazu. Also gehört auch

${}Z^{3}=YZ\cdot {\frac {Z^{2}}{Y}}\,$

und damit auch ${}Y^{3}$ und ${}X^{3}$ dazu. Wenn man

${}U={\frac {X}{Y}}\,$

und

${}V={\frac {Z^{2}}{Y}}\,$

setzt, so ist

${}X^{3}={\frac {U^{3}V^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$

${}X^{2}Y={\frac {U^{2}V^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$

${}XY^{2}={\frac {UV^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$

${}Y^{3}={\frac {V^{3}}{{\left(U^{3}+1\right)}^{2}}}\,,$

${}YZ={\frac {V^{2}}{U^{3}+1}}\,,$

${}XZ={\frac {UV^{2}}{U^{3}+1}}\,.$

Die Kohomologieklasse ${}{\frac {Z^{2}}{XY}}$ wird auf ${}{\frac {\zeta Z^{2}}{XY}}$ abgebildet, ist also nicht invariant, die invariante Klasse ${}{\frac {Z^{2}}{XY}}+{\frac {\zeta Z^{2}}{XY}}+{\frac {\zeta ^{2}Z^{2}}{XY}}$ ist ${}0$.