Fermat-Quadrik/3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu

${}F=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\,.$

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0\\B&2Y&0&0&0\\C&2Z&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0\\AB&0&2Y&2X&0\\AC&0&2Z&0&2X\\B^{2}&1&0&2Y&0\\BC&0&0&2Z&2Y\\C^{2}&1&0&0&2Z\end{pmatrix}}$

Ein Element des Kernes ist

$\left(0,\,1,\,0,\,0,\,2X,\,2Y,\,2Z,\,-2X,\,0,\,-2X\right),$

der zugehörige Operator ist

$\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+2Y\partial _{X}\partial _{Y}+2Z\partial _{X}\partial _{Z}-X\partial _{Y}^{2}-X\partial _{Z}^{2}.$

${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&2X&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&2Y&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&2Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&2X&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&2Y&2X&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&2Z&0&2X&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&1&0&2Y&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&2Z&2Y&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&1&0&0&2Z&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&0&2X&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&1&0&2Y&2X&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&1&2Z&0&2X&0&0&0\\AB^{2}&0&1&0&0&0&2Y&0&2X&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&2Z&2Y&0&2X&0\\AC^{2}&0&1&0&0&0&0&2Z&0&0&2X\\B^{3}&0&0&1&0&0&0&0&2Y&0&0\\B^{2}C&0&0&0&1&0&0&0&2Z&2Y&0\\BC^{2}&0&0&1&0&0&0&0&0&2Z&2Y\\C^{3}&0&0&0&1&0&0&0&0&0&2Z\end{pmatrix}}.$