Fermat-Zahlen/Eigenschaften von Primteilern/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei also ${}p$ ein Primteiler von ${}F_{r}=2^{2^{r}}+1$. Dies bedeutet, dass in ${}\mathbb {Z} /(p)$ die Gleichung

${}2^{2^{r}}=-1\,$

vorliegt. Nach quadrieren ist ${}2^{2^{r+1}}=1$ und die Ordnung von ${}2$ ist ${}2^{r+1}$ (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von ${}2^{r+1}$ sein muss, aber ${}2^{2^{r}}\neq 1$ ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von ${}p-1$, woraus folgt, dass ${}p=1\mod 8$ ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass ${}2$ ein Quadratrest modulo ${}p$ ist. Es sei ${}x^{2}=2\mod p$. Dann ist aber die Ordnung von ${}x$ genau ${}2^{r+2}$. Nach dem Schluss von eben ist ${}2^{r+2}$ ein Teiler von ${}p-1$, was ${}p=2^{r+2}a+1$ bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage