Fermat-Zahlen/Eigenschaften von Primteilern/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei also ein Primteiler von . Dies bedeutet, dass in die Gleichung

vorliegt. Nach quadrieren ist und die Ordnung von ist (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von sein muss, aber ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von , woraus folgt, dass ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass ein Quadratrest modulo ist. Sei . Dann ist aber die Ordnung von genau . Nach dem Schluss von eben ist ein Teiler von , was bedeutet.