Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik 2/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}2$ und ${}X$ die projektive Fläche

$V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+W^{3}).$

Die ist eine glatte projektive Fanofläche, das kanonische Geradenbündel ist ${}\omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(-1)$. Es ist

${}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(1))=K{\frac {W^{2}}{XYZ}}\,.$

Diese Kohomologieklasse wird durch den Frobenius annulliert, es ist ja

${}{\left({\frac {W^{2}}{XYZ}}\right)}^{2}={\frac {W^{4}}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}=-{\frac {W{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}}{X^{2}Y^{2}Z^{2}}}=0\,.$