Fermatquartik/Modulo 29/Aufgabe/Lösung

Die Einheitengruppe von $\mathbb{Z}/(29)$ ist zyklisch der Ordnung $28$, also isomorph zur additiven Gruppe

$\mathbb{Z}/(28)=\mathbb{Z}/(7)\times \mathbb{Z}/(4).$

Daher gibt es neben der $0$ noch sieben weitere vierte Potenzen in $\mathbb{Z}/(29)$. Diese sind (wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen)

$1,7(=8^4),-4(=25=16^4),-5(=24=4^4),-6(=23=3^4),-9(=20=6^4),-13(=16=2^4).$

Eine Dreiersumme mit einer $0$ ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als $29$ und größer als $-29$ und nicht $0$. Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir $2,8,14$, doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen $-8$ und $-26$, was sich durch eine positive Zahl nicht zu $0$ ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen

$3\cdot -9=-27>-29$

muss auf jeden Fall die $-13$ vorkommen. Es ist  $-13-9-9=-31\ne 0$ 

und die andere Kombinationen mit nur einer $-13$ sind größer als $-31$. Mit zweimal $-13$ ist es auch nicht möglich, da $-3$ nicht zur Liste gehört, und dreimal $-13$ geht auch nicht.

Zur gelösten Aufgabe