Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}s=2^{k}u$ mit ${}u$ ungerade. Damit ist

${}2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$

Für ungerades ${}u$ gilt generell die polynomiale Identität (da ${}-1$ eine Nullstelle ist)

$X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$

Also ist ${}2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von ${}2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet ${}u=1$.

Zur bewiesenen Aussage