Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben  $s=2^{k}u$  mit $u$ ungerade. Damit ist

$2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^k}\right)}^u+1.$

Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität (da $-1$ eine Nullstelle ist)

$X^u+1=(X+1)(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\dots +X^2-X+1).$

Also ist  $2^{2^k}+1\ge 3$  ein Teiler von $2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet  $u=1$. 

Zur bewiesenen Aussage