Fibonacci-Zahlen/Simpson Formel/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang für ${}n=2$ ist durch

{}f_{3}\cdot f_{1}-f_{2}^{2}=2\cdot 1-1^{2}=1=(-1)^{2}\,

gesichert. Es sei also die Aussage für ein ${}n$ schon bewiesen und betrachten wir die Aussage für ${}n+1$ . Es ist

{}{\begin{aligned}f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^{2}&={\left(f_{n}+f_{n+1}\right)}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}f_{n}-f_{n+1}^{2}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n+1}\right)}\\&=f_{n}^{2}+f_{n+1}{\left(f_{n}-f_{n}-f_{n-1}\right)}\\&=f_{n}^{2}-f_{n+1}f_{n-1}\\&=(-1){\left(f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}\right)}\\&=(-1)(-1)^{n}\\&=(-1)^{n+1}.\end{aligned}}