Flächendurchschnitt/Hyperbel und Kugel/Resultante/Beispiel

Es sei

${}f=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\,$

und

${}g=XZ-1\,,$

die keinen gemeinsamen Faktor haben. Die Resultante (bezüglich ${}Z$) ist

${}\operatorname {Res} (f,g)=\det {\begin{pmatrix}1&0&X^{2}+Y^{2}-1\\X&-1&0\\0&X&-1\end{pmatrix}}=1-X^{2}(X^{2}+Y^{2}-1)=1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2}\,.$

Das bedeutet, dass das Bild des Durchschnitts der beiden durch ${}f$ und ${}g$ Flächen (also die Kugel und der Zylinder über einer Hyperbel) in ${}V(1-X^{4}-X^{2}-X^{2}Y^{2})$ liegt.