Folge/3 sin^4 n -7n^3+11n durch 5n^3-4n^2-cos n/Aufgabe/Lösung

Wir erweitern den Bruch mit ${}1/n^{3}$ ($n\geq 1$) und schreiben

${}{\begin{aligned}{\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7{\frac {n^{3}}{n^{3}}}+11{\frac {n}{n^{3}}}}{5{\frac {n^{3}}{n^{3}}}-4{\frac {n^{2}}{n^{3}}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\\&={\frac {3{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}-7+11{\frac {1}{n^{2}}}}{5-4{\frac {1}{n}}-{\frac {\cos n}{n^{3}}}}}\end{aligned}}$

Dabei konvergieren ${}11{\frac {1}{n^{2}}}$ und ${}-4{\frac {1}{n}}$ gegen ${}0$ und wegen ${}-1\leq \sin n,\cos n\leq 1$ konvergieren auch ${}{\frac {\sin ^{4}n}{n^{3}}}$ und ${}{\frac {\cos n}{n^{3}}}$ gegen ${}0$. Somit konvergiert die Folge gegen ${}-{\frac {7}{5}}$.

Zur gelösten Aufgabe