Folge/Cauchy-Äquivalenz/Relationseigenschaften/Aufgabe

Wir nennen zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aus ${}\mathbb {Q}$ Cauchy-äquivalent, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-y_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Cauchy-Äquivalenz ist eine symmetrische und transitive Relation auf dem Folgenring ${}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$.
2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn sie zu sich selbst Cauchy-äquivalent ist.
3. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen ist die Cauchy-Äquivalenz eine Äquivalenzrelation.
4. Auf dem Raum aller Cauchy-Folgen stimmt die Cauchy-Äquivalenz von zwei Folgen mit der Eigenschaft überein, dass ihre Differenzfolge eine Nullfolge ist.
5. Wenn ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zu ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-äquivalent ist, so ist auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

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