Folge/Quadratwurzel(n mal n +1)-n/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass die Folge gegen $\frac{1}{2}$ konvergiert. Zunächst haben wir die Abschätzung

$\begin{array}{cc}\sqrt{n}\cdot \sqrt{n+1}-n& =\sqrt{n(n+1)}-n\\ & =\sqrt{n^2+n}-n\\ & \le \sqrt{n^2+n+\frac{1}{4}}-n\\ & =\sqrt{{(n+\frac{1}{2})}^2}-n\\ & =n+\frac{1}{2}-n\\ & =\frac{1}{2}.\end{array}$

Es sei nun  $\alpha <\frac{1}{2}$  fixiert. Wir zeigen, dass die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß oberhalb von $\alpha$ liegen. Es ist

$(1-2\alpha )>0$

und somit gilt für $n$ hinreichend groß die Abschätzung

$(1-2\alpha )n\ge {\alpha }^2.$

Für solche $n$ ist dann auch

$n^2+n\ge n^2+2\alpha n+{\alpha }^2=(n+\alpha {)}^2.$

Also hat man für diese Folgenglieder die Abschätzung

$\begin{array}{cc}\sqrt{n}\cdot \sqrt{n+1}-n& =\sqrt{n^2+n}-n\\ & \ge \sqrt{(n+\alpha {)}^2}-n\\ & =n+\alpha -n\\ & =\alpha .\end{array}$

Daraus folgt die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe