Folge/Quadratwurzel(n mal n +1)-n/Konvergenz/Tipp/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)}^{2}&={\sqrt {n+1}}^{2}+{\sqrt {n}}^{2}-2{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}\\&=2n+1-2{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}.\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n&=-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)}^{2}+{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

Da ${}{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$ und somit auch das Quadrat davon gegen ${}0$ konvergiert, konvergiert die Folge gegen ${}{\frac {1}{2}}$.

Zur gelösten Aufgabe